menentukan akar persamaan polinomial dengan horner dan geogebra

120428

Menentukan akar-akar persamaan polinomial

Bagaimana cara menentukan akar-akar persamaan polinomial ini?

x⁴ – 4x³ – x² + 16x – 12 = 0

Penyelesaian:

Kalau kita tulis akar-akar polinomial itu adalah p, q, r, dan s, maka menurut teorema vieta berlaku

x⁴ – (p+q+r+s)x³ + (pq + pr + ps + qr + qs + rs)x² – (pqr + pqs + prs + qrs)x + (pqrs)=0.

Ini artinya

p + q + r + s = 4,

pq + pr + ps + qr + qs + rs = – 1,

pqr + pqs + prs + qrs = – 16, dan

pqrs = – 12.

Nah, yang akan kita lihat adalah pada pqrs nya atau pada koefisien berderajat paling kecil, lebih mudahnya adalah biasanya yang paling belakang dari polinomial itu. Pada persamaan itu nilai yang akan menjadi patokan adalah – 12. Karena 12 itu adalah hasil kali dari akar-akarnya, maka ada kemungkinan akar-akar polinomialnya adalah faktor dari 12. Sekarang kita sebutkan faktor-faktor dari 12, yaitu 1, 2, 3, 4, 6, dan 12, itu juga berlaku untuk bilangan negatifnya.

Langkah selanjutnya adalah menggunakan aturan Horner.

	x4	x3	x2	x1	x0
koefisien	1	– 4	– 1	16	– 12
1		1	– 3	– 4	12
h(x) =	1	– 3	– 4	12	0

Ya, sisanya nol. Berarti dugaan kita benar. 1 adalah faktor dari polinomial itu. Berarti 1 adalah salah satu akar persamaan polinomial itu. Sekarang kita punya hasil bagi h(x)= x³ – 3x² – 4x + 12.

Secara lengkap boleh kita tulis seperti ini.

x⁴ – 4x³ – x² + 16x – 12 = (x – 1)(x³ – 3x² – 4x + 12)

mungkin 2 adalah akar yang lain. Siapa tau kan? Kita coba saja lagi dengan Horner. Kita pecah lagi h(x) yang telah kita dapat.

	x3	x2	x1	x0
koefisien	1	– 3	– 4	12
2		2	– 2	– 12
h(x) =	1	– 1	– 6	0

Benar sekali! :D berarti 2 juga akar persamaan polinomial itu. Kita dapatkan h(x)= x²– x – 6. Sekarang kita punya bentuk menarik dari polinomial yang tadi menjadi seperti ini.

x⁴ – 4x³ – x² + 16x – 12 = (x – 1)(x – 2)(x²– x – 6).

Pastinya dengan sangat mudah kita dapat memfaktorkan bentuk h(x) terakhir itu menjadi seperti ini.

x²– x – 6 = (x – 3)(x + 2). Sehingga secara lengkap persamaan polinomial tadi dapat kita ubah menjadi seperti ini.

x⁴ – 4x³ – x² + 16x – 12 = 0

⇔ (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x + 2) = 0.

Jadi akar-akar persamaan polinomial itu adalah x₁ = – 2, x₂ = 1, x₃ = 2, dan x₄ = 3.

Sekarang kita kerjakan dengan geogebra.

Buka geogebranya, kemudian kita masukkan polinomialnya pada input, (tanpa = 0) seperti ini.

Tekan enter untuk melihat hasilnya, setelah disesuaikan hasilnya seperti ini.

Akar persamaan artinya nilai x berapa saja sehingga polinomialnya itu nilainya nol? Kalimat itu berarti kapan (untuk x berapa saja) grafik itu berpotongan dengan sumbu X? Kita bisa mengetahuinya dengan sangat mudah dengan cara begini.

1. Pilih intersect two object (perpotongan dua objek)

2. kemudian klik grafik dan klik sumbu X.

3. Seketika muncul titik perpotongan grafik dan sumbu X. Itulah akar persamaan polinomial

x⁴ – 4x³ – x² + 16x – 12 = 0.

Di sisi aljabar (sebelah kiri) akan terlihat koordinat titik A, B, C, dan D seperti ini.
 

Mudah sekali bukan? Akar-akarnya adalah A= – 2, B = 1, C = 2, dan D = 3.

Polinomial dengan akarnya berupa bilangan irrasional.

Sekarang bagaimana kalau persamaan polinomialnya seperti ini? Masih bisakah kita menyelesaikannya? Tentu saja bisa.

x⁴ – 2x³ – x² + 6x – 6 = 0

Penyelesaian:

Kita lihat, faktornya 6 adalah 1, 2, 3, dan 6. akan tetapi kalau kita masukkan bilangan-bilangan itu, tidak menghasilkan nol. Bagaimana ini? Apa yang harus kita lakukan?

Jangan panik. Kita cek dulu dengan geogebra. Masukkan polinomial itu pada kotak input kemudian tekan enter.

Hasilnya adalah seperti ini.

Untuk mengetahui akar-akar polinomialnya, kita cari titik potong antara grafik itu dengan sumbu X. Caranya dengan intersect two object, pilih grafiknya, kemudian pilih sumbu X.

Hasilnya seperti ini.

Dan di bagian aljabar kita lihat titiknya adalah seperti ini.

Akar-akarnya adalah A = – 1,73 dan B = 1,73. kok hasilnya aneh? Desimal gitu sih? Pasti itu hasilnya adalah pembulatan. Kurang tepat dong.. Apalagi kalau nanti kita cek dengan Horner, x kita ganti dengan 1,73 mungkin tidak menghasilkan nol.

Jangan terburu-buru kecewa seperti itu, kawan, tidak baik. Sabar, orang sabar akan disayang Allah. Mari kita menggunakan sarana yang ada di geogebra untuk mengungkap apa yang terkandung di balik rahasia yang ada. Kita pakai bantuan dari lingkaran. Klik ikon lingkaran 
  
(circle with center through point: lingkaran dengan pusat tertentu dan melewati titik tertentu). Kemudian klik pada titik pusat O(0,0) dan klik titik B. Apa yang terjadi?

Terbentuk satu lingkaran dengan pusat O(0,0) dan berjari-jari berapa? Kita lihat pada bagian aljabarnya, seperti ini.

Diperoleh persamaan lingkaran x² +y² = 3.

Lho, itu kan lingkaran dengan pusat (0,0) dan jari-jarinya \[ \sqrt{3} \]

Sekarang aku tau nih.. Berarti titik A = \[ \sqrt{3} \] dan titik B = \[ \sqrt{3} \]

Artinya akar-akar persamaan polinomial itu adalah \[ x_{1}=\sqrt{3}\; dan \;x_{2}=-\sqrt{3} \]

Ada satu lagi cara menarik yang ditemukan oleh Ajatoel Oelja, seorang yang penuh energi dan berselebrasi njungkel-njungkel, rol depan. Sangat unik pria yang satu ini.

Persamaan polinomial

x⁴ – 2x³ – x² + 6x – 6 = 0

bisa kita kerjakan dengan mengelompokkan pangkat-pangkat yang selang-seling (pangkat genap dengan pangkat genap: x⁴, x², x⁰ dan pangkat ganjil dengan pangkat ganjil: x³, x¹) sehingga tercipta suasana yang sejuk untuk dinikmati. Jadi persamaan polinomial itu kini menjadi seperti ini.

x⁴ – x² – 6 – 2x³ + 6x = 0

⇔ (x⁴ – x² – 6) – (2x³ – 6x) = 0

⇔ (x² + 2)(x² – 3) – 2x(x² – 3) = 0

⇔ (x² – 2x + 2)(x² – 3) = 0.

Jelas bahwa x² – 2x + 2 > 0 (positif). Jadi x² – 3 haruslah bernilai nol.

Diperoleh x² – 3 = 0

\[ \Leftrightarrow (x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3}) \]
\[ \Leftrightarrow x_{1}=\sqrt{3}\; dan \;x_{2}=-\sqrt{3} \]

kira-kira saya sudah paham belum ya? Untuk mengujinya, silakan kerjakan soal latihan di bawah ini dengan cara Ajatoel Oelja tadi.

Tentukan akar-akar persamaan polinomial berikut ini.

1. x⁴ – 2x³ + 3x² + 4x – 10 = 0
2. x⁴ – 2x³ + 6x – 9 = 0
3. x⁴ – 3x³ – x² + 15x – 20 = 0
4. x⁴ – x³ – 3x² + 6x – 18 = 0
5. x⁴ – 4x³ – x² + 28x – 42 = 0
   
   file pdfnya bisa diunduh di google docs berikut ini.
   https://docs.google.com/open?id=0B-WmUMQtTTUYdlU2NXNyUEVrUTQ

Semoga bermanfaat

muktyas@gmail.com

cara mengopy paste ke drive linux berformat ext2, ext3

Kalau kita ingin mengopy data kita ke drive data di linux, tapi kok tidak bisa? Bagaimana ini? Apa yang kita lakukan?
jangan risau, kawan..

Gimana ya cara mengopy dan paste data kita ke drive berformat ext2, ext3, atau yang lain yang digunakan linux?

Kalau di puppy linux sih tidak ada masalah, karena kita secara default menjadi root. Tapi kalau di ubuntu, tak semudah itu. Untuk itu perlu adanya sedikit rekayasa. Check this out:

Cara lain untuk bisa mengakses ke drive partisi berformat ext2, ext3, ext4, atau yang lain:

1. ubah menjadi root, melalui console
2. ubah hak akses drive dengan chmod.
   ketikkan chmod -R 777 /alamat/drive/kita. Contoh: chmod -R 777 /media/oprx
   -R artinya dilakukan rekursif (berulang-ulang) karena drive kita seperti folder, kalau hanya satu file saja tidak perlu menggunakan -R. 777 itu berarti tak hanya kita, tapi orang di luar sana diberikan kewenangan untuk mengakses data kita. Full bgt.
   Angka-angka itu maksudnya adalah seperti ini:

7	Full (penuh, siapa saja boleh mengaksesnya baik kita sendiri maupun misalkan ada orang lain yang menyusup ke komputer kita)
6	Read and write (bisa membaca dan mengubahnya)
5	Read and execute (bisa membaca dan mengeksekusinya: untuk file aplikasi biasanya)
4	Read only (hanya bisa membaca)
3	Write and execute (bisa mengubah dan menjalankan aplikasinya)
2	Write only (hanya bisa menulis saja)
1	Execute only (hanya bisa mengeksekusi saja)
0	None (kosong)

Kok masih sulit memahami ya? Tenang saja, simak saja terus, nanti kan tau maksudnya.

7 = 2² + 2¹ + 1

4 : read (bisa membaca)

2 : write (bisa menulis)

1 : execute (bisa mengeksekusi)

karena komputer biasa menggunakan bahasa biner.

Untuk di ubuntu, kita bisa mengetahui permission nya di explorer (nautilus) dengan mengeklik view, visible column, kemudian centang permission.

Penjelasan lebih lengkapnya adalah seperti ini.

Angka biner untuk 7 adalah 111

1 yang awal itu adalah read

1 yang tengah itu adalah write

1 yang terakhir itu adalah execute

bisa dilihat di tabel berikut ini.

Arti	Bilangan biner	Bilangan biasa
Read write execute (rwx)	111	4+2+1=7
Read write no execute (rw-)	110	4 + 2 = 6
Read no write execute (r-x)	101	4 + 1 = 5
Read no write no execute (r--)	100	4
No read write execute (-wx)	011	2 + 1 =3
No read write no execute (-w-)	010	2
No read no write execute (--x)	001	1
No read no write no execute (---)	000

Sekarang kita bisa mengopy paste data kita dari manapun ke drive manapun yang kita sukai.

Dahsyat kan linux?

Pakai yang opensource yuk..

sumber:

http://en.wikipedia.org/wiki/Chmod

http://www.websitebabble.com/uploading-files-ftp/1667-what-chmod-777-a.html
http://www.zzee.com/solutions/unix-permissions.shtml

spbu canggih, ngisi manual

teknologi membuat kita menjadi semakin baik.
pelayanan di spbu pun sekarang menjadi lebih baik, lebih terbuka, tanpa ada kecurigaan dari konsumen mengenai adanya kecurangan dalam spbu. kita isi sendiri bensinnya. kita bisa merasakan sensasi hebat dari touchscreen pengisi bensin itu. begini kronologinya.
pertama kita ke petugasnya, di sini petugas spbu jadi sedikit, karena kita yang nantinya akan mengisi sendiri. kita menukarkan uang kita dengan kupon yang berisi pin yang terdiri dari 4 digit.bisa dilihat pada gambar ini.

kemudian kita tekan mulai, dan masukkan pin tadi. layarnya touchscreen. selamat datang di spbu ... kita angkat nozle berwarna kuning, kemudian terdengar suara ramah seseorang dari dalam mesin, "dimulai dari angka nol ya.."
setelah selesai mengisi, kita ambil struk dari mesin.

satu lagi kelebihan dan kemudahan teknologi.
mungkin beberapa saat lagi teknologi ini menyebar ke seluruh pelosok negeri.

ms. office 2010 sekaligus windows xp bisa jalan di puppy linux

Bagaimana tanggapan anda melihat screenshoot di atas?
subhaanallaah..
setelah sebelumnya kita bisa menginstall ms. office 2007 dengan nyaman, (klik di sini untuk melihat postingan itu):

http://muktyas.blogspot.com/2011/12/microsoft-office-2007-di-puppy-linux.html

ms. office 2010 pun bisa berjalan di puppy linux. Tak hanya itu, ms windows xp sp3 juga bisa dijalankan di sini. Mau tau rahasianya? dengan virtual box.
Sekarang saya punya windows xp di puppy linux saya, lucid puppy 528.

Masih meragukan kecanggihan puppy linux kah?
pakai puppy linux yuk..
:D

latex di blogspot

Tulis posting, kemudian ubah ke tampilan html, kemudian masukkan kode ini pada awal blog:
<script type="text/x-mathjax-config"> MathJax.Hub.Config({tex2jax: {inlineMath: [['$','$'], ['\\(','\\)']]}}); </script> <script src="http://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js?config=TeX-AMS-MML_HTMLorMML" type="text/javascript"> </script>
setelah itu masukkan seperti ini:

A Cross Product Formula

\[\mathbf{V}_1 \times \mathbf{V}_2 =  \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
\frac{\partial X}{\partial u} &  \frac{\partial Y}{\partial u} & 0 \\
\frac{\partial X}{\partial v} &  \frac{\partial Y}{\partial v} & 0
\end{vmatrix}  \]

jadinya seperti ini:
A Cross Product Formula \[\mathbf{V}_1 \times \mathbf{V}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial X}{\partial u} & \frac{\partial Y}{\partial u} & 0 \\ \frac{\partial X}{\partial v} & \frac{\partial Y}{\partial v} & 0 \end{vmatrix} \]

contoh lain:

\[P(E) = {n \choose k} p^k (1-p)^{n-k}\]

\[P(E) = {n \choose k} p^k (1-p)^{n-k}\]
\[sin^2\alpha+cos^2\alpha=1\]
\[sin^2\alpha+cos^2\alpha=1\]
keterangan:

di awal rumus, tuliskan \[ 
dan diakhir rumus latex, tuliskan \]

kalau yang ini jadinya apa ya?$\frac{1}{2}x^3+5x^2-\frac{2}{5}x+1=0$ akan nyambung ga?
rahasianya adalah saya beri tanda dolar di awal rumus dan di akhir rumus
$\frac{1}{2}x^3+5x^2-\frac{2}{5}x+1=0$
untuk menulis kode matematikanya bisa mengunjungi situs ini. penggunaannya sama seperti di mathtype atau equation editor nya ms. word. coba saja. http://latex.matematika.us/. atau di sini: http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php
rumus matematika di blog kita bisa diblok, dicopy paste, bukan hanya bentuk gambar.
canggih kan?
semoga bermanfaat.
:)

sumber:
http://holdenweb.blogspot.com/2011/11/blogging-mathematics.html