Invers Matriks Modulo

Kongruensi modulo

Assalaamu'alaikum, Sahabat.
Sekarang kita akan memasuki dunia yang berbeda. Kita akan sering berganti-ganti dunia. Dunia kita, dan dunia modulo. Contohnya adalah modulo 5. Kalau di dunia kita ada bilangan genap, ganjil, positif, negatif, bulat, rasional, irasional, real, kompleks, dan macem-macem lainnya. Nah, kalau di dunia modulo 5 adanya cuman 0, 1, 2, 3, dan 4 saja. Ada beberapa hal menarik dari dunia kita dan dunia modulo 5. Cuma bilangan rasional saja yang bisa bertransformasi ke dunia modulo 5 (tadinya setauku cuma bilangan bulat saja, tapi ternyata dapat masukan dari Bu Tami dan Pak PJ, ternyata keseluruhan bilangan rasional bisa juga.. Canggih!). Kita liat dulu transformasinya di tabel ini:

Dunia kita	Dunia modulo 5
0	0
1	1
2	2
3	3
4	4
5	0
6	1
7	2
8	3
9	4
10	0

Apa yang bisa kita liat dari tabel itu?
\[ 0 \equiv 0 (mod\ 5) \\ 1 \equiv 1 (mod\ 5) \\ 2 \equiv 2 (mod\ 5) \\ 3 \equiv 3 (mod\ 5) \\ 4 \equiv 4 (mod\ 5) \\ 5 \equiv 0 (mod\ 5) \\ 6 \equiv 1 (mod\ 5) \\ 7 \equiv 2 (mod\ 5) \\ 8 \equiv 3 (mod\ 5) \\ \vdots \]
Mudahnya untuk mengetahui 13 itu ekivalen dengan berapa di dunia modulo 5, caranya tinggal bagi 13 dengan 5, sisanya itu adalah hasil transformasi di dunia modulo 5. Kayak gini, $13:5=2\ sisa\ 3$. Jadi $13\equiv 3\ (mod\ 5)$. Terus $28\equiv 3 (mod\ 5)$. Sehingga $13\equiv 28 (mod\ 5)$ (artinya di dunia modulo 5, $13$ dan $28$ itu kongruen, Sahabat..).


Invers modulo

Sekarang, kalau di dunia kita, $3^{-1}$ itu sama dengan $\tfrac{1}{3}$ karena $3\cdot 3^{-1} = 3\cdot \tfrac{1}{3}=1$. Nah, kalau inversnya 3 di dunia modulo 5 apa ya? Kan di sana hanya ada bilangan 0, 1, 2, 3, dan 4 saja. Kita coba saja satu per satu.
\[ 3\cdot 0\equiv 0 (mod\ 5) \\ 3\cdot 1\equiv 3 (mod\ 5) \\ 3\cdot 2=6\equiv 1 (mod\ 5) \\ 3\cdot 3=9\equiv 4 (mod\ 5) \\ 3\cdot 4=12\equiv 2 (mod\ 5). \]
Ternyata $3\cdot x \equiv 1 (mod\ 5)$ itu $x$ nya adalah 2 karena $3\cdot 2 = 6\equiv 1 (mod\ 5)$. Jadi invers dari 3 di modulo 5 adalah 2. Ini juga jadi terbukanya misteri hubungan bilangan rasional (yang bentuknya $\tfrac{a}{b}, b\ne 0$ yang a dan b nya bilangan bulat) dengan bilangan di dunia modulo 5. Contoh lainnya itu ini,
\[ \frac{2}{3}=2\cdot \tfrac{1}{3}=2\cdot 3^{-1}\\ \equiv 2\cdot 2 =4 (mod\ 5)\]


Invers matriks modulo

Sekarang kalau matriks di dunia kita, kalau di dunia modulo 5 itu jadinya gimana ya? Bisa juga ndak ya kita nyari invers modulonya? Alhamdulillah bisa lho, Sahabat.. Contohnya ini.
\[ \begin{pmatrix}
2 &1 \\
3 &0
\end{pmatrix}^{-1}(mod\ 5)=? \]
Itu sama saja dengan kita nyari matriks yang jika dikalikan dengan $\begin{pmatrix} 2 &1 \\ 3 &0 \end{pmatrix}$ hasil kalinya itu matriks identitas $\begin{pmatrix} 1 &0 \\ 0 &1 \end{pmatrix}$. Adakah?
Kita selesaikan dengan OBE (Operasi Baris Elementer). Begini tahapan-tahapannya.
\[ \begin{pmatrix} 2 &1 &| &1 &0 \\ 3 &0 &| &0 &1 \end{pmatrix}\\R_1(\tfrac{1}{2})\equiv R_1(3) \begin{pmatrix} 6 &3 &| &3 &0 \\ 3 &0 &| &0 &1 \end{pmatrix}\equiv \begin{pmatrix} 1 &3 &| &3 &0 \\ 3 &0 &| &0 &1 \end{pmatrix} (mod\ 5)\\R_2-3R_1 \begin{pmatrix} 1 &3 &| &3 &0 \\ 0 &-9 &| &-9 &1 \end{pmatrix}\equiv \begin{pmatrix} 1 &3 &| &3 &0 \\ 0 &1 &| &1 &1 \end{pmatrix} (mod\ 5)\\R_1-3R_2 \begin{pmatrix} 1 &0 &| &0 &-3 \\ 0 &1 &| &1 &1 \end{pmatrix}\equiv \begin{pmatrix} 1 &0 &| &0 &2 \\ 0 &1 &| &1 &1 \end{pmatrix} (mod\ 5)\\ \]
Jadi $ \begin{pmatrix}
2 &1 \\
3 &0
\end{pmatrix}^{-1} \equiv \begin{pmatrix}
0 &2 \\
1 &1
\end{pmatrix}(mod\ 5)$. Kalau kita cek,
\[ \begin{pmatrix} 2&1\\ 3&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0&2\\ 1&1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1&5\\ 0&6 \end{pmatrix}\equiv \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix}(mod\ 5). \]
:)