menentukan akar persamaan polinomial dengan horner dan geogebra

120428

Menentukan akar-akar persamaan polinomial

Bagaimana cara menentukan akar-akar persamaan polinomial ini?

x⁴ – 4x³ – x² + 16x – 12 = 0

Penyelesaian:

Kalau kita tulis akar-akar polinomial itu adalah p, q, r, dan s, maka menurut teorema vieta berlaku

x⁴ – (p+q+r+s)x³ + (pq + pr + ps + qr + qs + rs)x² – (pqr + pqs + prs + qrs)x + (pqrs)=0.

Ini artinya

p + q + r + s = 4,

pq + pr + ps + qr + qs + rs = – 1,

pqr + pqs + prs + qrs = – 16, dan

pqrs = – 12.

Nah, yang akan kita lihat adalah pada pqrs nya atau pada koefisien berderajat paling kecil, lebih mudahnya adalah biasanya yang paling belakang dari polinomial itu. Pada persamaan itu nilai yang akan menjadi patokan adalah – 12. Karena 12 itu adalah hasil kali dari akar-akarnya, maka ada kemungkinan akar-akar polinomialnya adalah faktor dari 12. Sekarang kita sebutkan faktor-faktor dari 12, yaitu 1, 2, 3, 4, 6, dan 12, itu juga berlaku untuk bilangan negatifnya.

Langkah selanjutnya adalah menggunakan aturan Horner.

	x4	x3	x2	x1	x0
koefisien	1	– 4	– 1	16	– 12
1		1	– 3	– 4	12
h(x) =	1	– 3	– 4	12	0

Ya, sisanya nol. Berarti dugaan kita benar. 1 adalah faktor dari polinomial itu. Berarti 1 adalah salah satu akar persamaan polinomial itu. Sekarang kita punya hasil bagi h(x)= x³ – 3x² – 4x + 12.

Secara lengkap boleh kita tulis seperti ini.

x⁴ – 4x³ – x² + 16x – 12 = (x – 1)(x³ – 3x² – 4x + 12)

mungkin 2 adalah akar yang lain. Siapa tau kan? Kita coba saja lagi dengan Horner. Kita pecah lagi h(x) yang telah kita dapat.

	x3	x2	x1	x0
koefisien	1	– 3	– 4	12
2		2	– 2	– 12
h(x) =	1	– 1	– 6	0

Benar sekali! :D berarti 2 juga akar persamaan polinomial itu. Kita dapatkan h(x)= x²– x – 6. Sekarang kita punya bentuk menarik dari polinomial yang tadi menjadi seperti ini.

x⁴ – 4x³ – x² + 16x – 12 = (x – 1)(x – 2)(x²– x – 6).

Pastinya dengan sangat mudah kita dapat memfaktorkan bentuk h(x) terakhir itu menjadi seperti ini.

x²– x – 6 = (x – 3)(x + 2). Sehingga secara lengkap persamaan polinomial tadi dapat kita ubah menjadi seperti ini.

x⁴ – 4x³ – x² + 16x – 12 = 0

⇔ (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x + 2) = 0.

Jadi akar-akar persamaan polinomial itu adalah x₁ = – 2, x₂ = 1, x₃ = 2, dan x₄ = 3.

Sekarang kita kerjakan dengan geogebra.

Buka geogebranya, kemudian kita masukkan polinomialnya pada input, (tanpa = 0) seperti ini.

Tekan enter untuk melihat hasilnya, setelah disesuaikan hasilnya seperti ini.

Akar persamaan artinya nilai x berapa saja sehingga polinomialnya itu nilainya nol? Kalimat itu berarti kapan (untuk x berapa saja) grafik itu berpotongan dengan sumbu X? Kita bisa mengetahuinya dengan sangat mudah dengan cara begini.

1. Pilih intersect two object (perpotongan dua objek)

2. kemudian klik grafik dan klik sumbu X.

3. Seketika muncul titik perpotongan grafik dan sumbu X. Itulah akar persamaan polinomial

x⁴ – 4x³ – x² + 16x – 12 = 0.

Di sisi aljabar (sebelah kiri) akan terlihat koordinat titik A, B, C, dan D seperti ini.
 

Mudah sekali bukan? Akar-akarnya adalah A= – 2, B = 1, C = 2, dan D = 3.

Polinomial dengan akarnya berupa bilangan irrasional.

Sekarang bagaimana kalau persamaan polinomialnya seperti ini? Masih bisakah kita menyelesaikannya? Tentu saja bisa.

x⁴ – 2x³ – x² + 6x – 6 = 0

Penyelesaian:

Kita lihat, faktornya 6 adalah 1, 2, 3, dan 6. akan tetapi kalau kita masukkan bilangan-bilangan itu, tidak menghasilkan nol. Bagaimana ini? Apa yang harus kita lakukan?

Jangan panik. Kita cek dulu dengan geogebra. Masukkan polinomial itu pada kotak input kemudian tekan enter.

Hasilnya adalah seperti ini.

Untuk mengetahui akar-akar polinomialnya, kita cari titik potong antara grafik itu dengan sumbu X. Caranya dengan intersect two object, pilih grafiknya, kemudian pilih sumbu X.

Hasilnya seperti ini.

Dan di bagian aljabar kita lihat titiknya adalah seperti ini.

Akar-akarnya adalah A = – 1,73 dan B = 1,73. kok hasilnya aneh? Desimal gitu sih? Pasti itu hasilnya adalah pembulatan. Kurang tepat dong.. Apalagi kalau nanti kita cek dengan Horner, x kita ganti dengan 1,73 mungkin tidak menghasilkan nol.

Jangan terburu-buru kecewa seperti itu, kawan, tidak baik. Sabar, orang sabar akan disayang Allah. Mari kita menggunakan sarana yang ada di geogebra untuk mengungkap apa yang terkandung di balik rahasia yang ada. Kita pakai bantuan dari lingkaran. Klik ikon lingkaran 
  
(circle with center through point: lingkaran dengan pusat tertentu dan melewati titik tertentu). Kemudian klik pada titik pusat O(0,0) dan klik titik B. Apa yang terjadi?

Terbentuk satu lingkaran dengan pusat O(0,0) dan berjari-jari berapa? Kita lihat pada bagian aljabarnya, seperti ini.

Diperoleh persamaan lingkaran x² +y² = 3.

Lho, itu kan lingkaran dengan pusat (0,0) dan jari-jarinya \[ \sqrt{3} \]

Sekarang aku tau nih.. Berarti titik A = \[ \sqrt{3} \] dan titik B = \[ \sqrt{3} \]

Artinya akar-akar persamaan polinomial itu adalah \[ x_{1}=\sqrt{3}\; dan \;x_{2}=-\sqrt{3} \]

Ada satu lagi cara menarik yang ditemukan oleh Ajatoel Oelja, seorang yang penuh energi dan berselebrasi njungkel-njungkel, rol depan. Sangat unik pria yang satu ini.

Persamaan polinomial

x⁴ – 2x³ – x² + 6x – 6 = 0

bisa kita kerjakan dengan mengelompokkan pangkat-pangkat yang selang-seling (pangkat genap dengan pangkat genap: x⁴, x², x⁰ dan pangkat ganjil dengan pangkat ganjil: x³, x¹) sehingga tercipta suasana yang sejuk untuk dinikmati. Jadi persamaan polinomial itu kini menjadi seperti ini.

x⁴ – x² – 6 – 2x³ + 6x = 0

⇔ (x⁴ – x² – 6) – (2x³ – 6x) = 0

⇔ (x² + 2)(x² – 3) – 2x(x² – 3) = 0

⇔ (x² – 2x + 2)(x² – 3) = 0.

Jelas bahwa x² – 2x + 2 > 0 (positif). Jadi x² – 3 haruslah bernilai nol.

Diperoleh x² – 3 = 0

\[ \Leftrightarrow (x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3}) \]
\[ \Leftrightarrow x_{1}=\sqrt{3}\; dan \;x_{2}=-\sqrt{3} \]

kira-kira saya sudah paham belum ya? Untuk mengujinya, silakan kerjakan soal latihan di bawah ini dengan cara Ajatoel Oelja tadi.

Tentukan akar-akar persamaan polinomial berikut ini.

1. x⁴ – 2x³ + 3x² + 4x – 10 = 0
2. x⁴ – 2x³ + 6x – 9 = 0
3. x⁴ – 3x³ – x² + 15x – 20 = 0
4. x⁴ – x³ – 3x² + 6x – 18 = 0
5. x⁴ – 4x³ – x² + 28x – 42 = 0
   
   file pdfnya bisa diunduh di google docs berikut ini.
   https://docs.google.com/open?id=0B-WmUMQtTTUYdlU2NXNyUEVrUTQ

Semoga bermanfaat

muktyas@gmail.com