manfaat belajar merasionalkan penyebut

Berapa nilai dari$\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}+...+\frac{1}{\sqrt{2024}+\sqrt{2025}}$?

Walaupun terlihat agak unik, tapi sebenarnya mudah sekali. Kalau kita tuliskan $\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{a+1}}=\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{a+1}}\cdot \frac{\sqrt{a}-\sqrt{a+1}}{\sqrt{a}-\sqrt{a+1}}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{a+1}}{a-a-1}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{a+1}}{-1}=\sqrt{a+1}-\sqrt{a}$.

Berarti $\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}+...+\frac{1}{\sqrt{2024}+\sqrt{2025}}$

$=\left( \sqrt{2}-\sqrt{1}\right )+\left( \sqrt{3}-\sqrt{2}\right )+\left( \sqrt{4}-\sqrt{3}\right )+\left( \sqrt{5}-\sqrt{4}\right )+\cdots$

$+\left( \sqrt{2023}-\sqrt{2024}\right )+\left( \sqrt{2024}-\sqrt{2025}\right )$

$=\sqrt{2025}-1=45-1=44$.

Sekarang tau kan, manfaat kita belajar merasionalkan penyebut?
Kalau sepertinya soal tadi sangat aneh untuk diselesaikan, tapi ternyata dengan "merasionalkan penyebut", bisa kita selesaikan. Canggih kan? Begitu juga dengan materi-materi yang sepertinya belum ada manfaatnya, kita pelajari saja. ternyata manfaatnya sangat besar kan?

divergen

Ini sesuatu yang unik.
Kalau kita pikirkan, nilai 1+3+9+27+81+243+... Harusnya hasil penjumlahannya positif kan?
Tapi tunggu dulu, mari kita simak penjelasan di bawah ini. Ada yang aneh lho.. :)
Kita tulis A=1+3+9+27+81+243+...
Berarti A-1=3+9+27+81+243+...
Padahal kita tahu kalau A=1+3+9+27+81+243+...
ó3A=3+9+27+81+243+729+...
Tadi katanya 3+9+27+81+243+...=A-1
dan 3+9+27+81+243+...=3A.
Berarti 3A=A-1óA= - 1/2 .
Jadi 1+3+9+27+81+243+...=-1/2.
Lho, kok tidak positif?
Padahal kan setiap bilangannya positif kan?
1, 3, 9, 27, 81, ... Kalau dijumlahkan pun juga harusnya positif juga kan?
:)
Ehm, ada yang tahu kenapa?

340414 berkelana di ibukota

Ahad kemarin, aku dan pak every berkelana menembus kerumunan riuhnya ibukota. Bermula ketika kami melangkah pergi dari kelapa dua Tangerang, menaiki angkot kuning menuju islamic, lima ribu rupiah saja diberikan kepada supir angkot untuk kami berdua. Tidak lama kemudian, kami naik bis jurusan blok M. Itu adalah pul-pulannya, terminal paling terakhir. Di dalam bis itu tertulis dengan jelas tarif yang harus dibayarkan penumpang, lima ribu lima ratus rupiah. Ah, ini keterbukaan. Jadi ga harus bayar lebih. Ada acnya lagi. Sesampainya di Blok M, kami melanjutkan dengan berjalan beberapa langkah menuju terowongan untuk membeli tiket busway.

Coba tebak harganya? Murah banget, Cuma tiga ribu lima ratus rupiah saja kita bisa keliling-keliling kota Jakarta dengan senang hati.

Kondekturnya ternyata perempuan. Dahsyat deh. Oia, jangan sampai salah masuk ya, untuk bagian depan itu khusus penumpang perempuan, bagi kita yang laki-laki harus di belakang. Namun anehnya ada juga cewek yang duduk di belakang padahal kursi depan masih kosong. Sepertinya ia bersama pasangannya, pikirku. Aku tengok kanan kiri selama perjalanan. Seperti inilah kota. Aku sempat juga mengambil gambar di berbagai sudut baik pemandangan di dalam busway maupun di luarnya untuk mengetahui sampai di mana sekarang. Mungkin saat itu aku beruntung mendapatkan busway ber-ac kecil. Jauh tak sebanding dengan banyak orang yang ada di sana. Tak ayal, keringat pun bercucuran meresap ke jaket hitam yang setelah itu aku buka sedikit resletingnya. Di setiap pemberhentian ada tulisan yang menunjukkan tempat sekarang kita berada. Dan ternyata Stasiun kota tujuan kami adalah pul terakhir dari busway. Jadi kami sangat beruntung, dan tak kalah ketinggalan sabar juga karena menunggu lama banget sampai akhirnya muncul juga tulisan Stasiun Kota. Kami semua turun dan menelusuri lorong yang melingkar ke bawah. Di sana ada tiga seniman musik yang melantunkan beberapa tembang dan terus saja menyanyikannya dengan penuh jiwa. Benar-benar menghayati.

Karena hari masih siang, dan sebentar lagi waktu dzuhur tiba, kami melanjutkan perjalanan kami dengan berjalan kaki. Lumayan kan kalau bisa berjalan sampai beberapa langkah, malah di iklan itu katanya seribu langkah per hari itu sehat. Setelah keluar dari terowongan itu, kami naik ke atas dan kembali dari underground yang ramai. Di kiri jalan banyak yang berjualan ini dan itu. Mulai dari jam tangan, baterai hape, headset, buah-buahan, sampai makanan ada di sana, tepat di tepi para penarik angkot dan bajaj. Ya, bajaj. Kendaraan modifikasi vespa itu beroperasi di sini. Kalau dulu hanya bisa menonton serialnya di trans TV, sekarang langsung bisa melihat dengan mata kepala sendiri, dan ternyata sopirnya tidak segemuk Bajuri. Kami sempatkan makan siang di sebuah warteg di pinggir jalan. Di sini tujuh ribu rupiah itu mungkin dianggap sedikit sekali ya. Perjalanan kami lanjutkan kembali. Hanya beberapa langkah saja adzan dhuhur berkumandang. Masjidnya pun sangat dekat, hanya perlu menyeberangi lautan kendaraan yang berlalu-lalang kesana kemari. Sholat itu sangat nikmat. Tidak ada yang bisa menandingi kenikmatannya. Makanya aku sendiri sangat tidak nyaman kalau sudah waktunya sholat, tapi belum melaksanakannya. Fastabiqul khoirot yuk.. berlomba-lomba dalam kebaikan.

Kami sempat masuk ke Mall Mangga Dua, tapi sepertinya tidak cocok dengan apa yang kami cari. Kami hentakkan kaki kami lagi untuk beberapa langkah ke depan. Harco Mangga Dua. Ya, tulisan itu terlihat. Kami belok ke kanan. Seperti tahun lalu, aku tinggalkan lantai dasar dan memulai mengitari di dalamnya. Dan kami berakhir di GK komputer, masih sama seperti dulu, di depan lift, dan juga masih seramai dulu. Kami lemparkan pandangan kami ke beberapa kertas bertuliskan merk dan spesifikasi yang terpampang di atas. Menimbang, dan memilah, hasilnya sebuah keputusan yang pasti, karena spesifikasi dan budget di kantong sudah berkompromi dengan baik. Pak Every tidak goyah dan langsung menunjuk salah satu kertas. Tulisannya kira-kira begini. Asus x44h b940 dual core ram 2gb hardisk 500gb Rp3.450.000. murah banget ya? Di harco mangga dua juga aku membeli flashdisk 8gb vandisk yang harganya Cuma lima puluh ribu rupiah saja. Pengin juga kan? Kalau headset nyentel di telinga saja harganya mencapai tiga puluh ribu rupiah. Ngebass juga kok. Biasa ya, ga terlalu mahal.

Perjalanan pulang kami putuskan untuk naik angkot saja, lumayan lah, sekitar empat ratus meter daripada jalan kaki. Kondisi tubuh kami juga mungkin mulai ngedrop. Setelah hampir ke terowongan stasiun kota, aku mencoba menawarkan ide untuk naik kereta. Gimana rasanya ya? Naik KRL hanya dengan delapan ribu rupiah, kami beli yang commuter line. Katanya dengan tiket itu bisa ganti-ganti kereta juga gapapa.

Nah, yang salah adalah kami beli bukan yang ke Tangerang, tapi ke Serpong. Ini bisa jadi perlajaran yang berharga buat kita semua. Takira Tangerang itu ya Serpong itu juga, tapi ternyata juauuh banget. Sampai di stasiun Serpong masih harus nimbal-nimbal angkot. Pertama angkot hijau muda cleret putih, setelah itu sampai di pertigaan, ganti dengan angkot hijau lebih tua cleret putih, itu sampai gading serpong. Tapi karena ini sabtu malam, jadi perjalanan yang jauh itu bertambah terasa sangat lama.

Ada cerita menarik juga ketika menaiki kereta listrik. Dari Stasiun kota, kami ke Bendan, ganti kereta, kemudian harusnya sampai stasiun Tanah Abang kami pindah kereta lagi, tapi tidak. Kami masih saja tergiur dengan bersih dan nyamannya KRL ini, ada ac nya lagi. Baru pada stasiun Sudirman kami turun dan berganti kereta yang berbalik arah. 

Nah, pas di Tanah Abang kami pindah kereta jurusan Serpong.

Alhamdulillah, dengan sisa-sisa energi yang terpendam dalam raga kami, akhirnya kami sampai kembali ke Kelapa Dua sekitar pukul setengah delapan.

Pas aku melewati mushola Al Barkah dekat kosku, pas sekali adzan isya’ berkumandang. Astaghfirullaah.

Cina memang hebat, Indonesia juga bisa. Bagaimana ya caranya?

Kita lihat di sekeliling kita, segala macam alat elektronik kebanyakan buatan bukan orang Indonesia. Pas ada yang bikinan orang kita, malah kurang laku karena seringnya kita masih meragukan kualitasnya. Lebih senangnya menggunakan yang mantep dan memuaskan. Kenapa?

Lain lagi dengan barang-barang elektronik bikinan Cina, sangat laris manis di pasaran karena memang harganya jauh lebih murah dari barang-barang buatan lain. Mungkin ini karena politik dumping yang mereka jalankan. Tapi aku juga pernah dengar kalau karyawan di sana digaji dengan lumayan rendah.

Barang-barang Cina mempunyai keunggulan yang lebih dari yang lain. Inofatif. Kata itu yang muncul di benakku ketika melihat perkembangan yang sangat pesat di Indonesia, negeriku sendiri. Bagaimana tidak, coba deh pikirkan, apa ada merk-merk HP terkenal yang ada tevenya? Ya cuma hape cina aja. Fitur-fitur yang disajikan juga sangat komplit dan aku rasa ga kalah sama yang lain. Yang jadi nilai plusnya lagi adalah harganya yang sangat terjangkau. Ini bisa menembus kalangan menengah ke bawah. Dan kita tahu sendiri, di negeri ini, walaupun ada orang yang hartanya melimpah dan gengsinya tinggi, tapi tidak bisa diremehkan juga banyak orang yang sedang dan kurang mampu. Nah, dari sini produk-produk cina laris manis di pasaran.

Kalau zaman dulu ada motor Cina yang harganya juga murah, tapi saat itu kualitasnya masih jauh di bawah motor-motor Jepang.

Aku punya pengalaman menarik pas lihat-lihat di mall karawaci. Saat itu aku sedang mencari sound card, boleh dibilang itu adalah konverter dari USB ke headset. Karena jack audio pada laptop asusku tidak bisa digunakan lagi. Aku lihat-lihat ke salah satu toko di sana, dan aku sempat kaget dengan harga yang penjual itu tawarkan, tidak tanggung-tanggung, 60 ribu. Bisa saja turun jadi lima puluh nih, pikirku. Ya sudah, aku cari di tempat lain. Ketika aku muter-muter, tak tahunya ketemu di salah satu toko lain yang ternyata menawarkan dengan harga lima ratus ribu. Langsung aku tersentak kaget dan tak menyangka apa yang sedang terjadi pada diriku saat ini. Subhanallah, berarti harga lima puluh ribu tadi yang buatan Cina itu jauh sangat murah. Akhirnya aku beli soundcard itu dengan hati lapang dan ikhlas, juga senyum yang mengembang. :)

Kali lain adalah ketika hape zuperku, hape Cina juga yang seperti kebanyakan hape cina adalah ngedropan baterainya. Aku tanya-tanya ke penjual di mall yang sama, ada ga ya hape cina yang baterainya tahan lama, yang mili ampere hournya besar? Tadinya ga ketemu-ketemu yang aku cari setelah muter-muter. Tapi akhirnya aku disarankan oleh mbak-mbak dan mas-mas di salah satu toko. “Kalau cuma pengin tahan lama mending pakai double powernya aja mas”. Ha? Double power? Ya, benar sekali. Kalau yang biasanya misalkan cuma 1200 mAh, yang ini bisa dua kali lipatnya jadi sekitar 2350 mAh. Lumayan awet kan? Karena ini juga, untuk sementara aku ga jadi beli hape baru.

Modem juga gitu kan? Huawei itu salah satu modem Cina yang ga rewel baik di Windows maupun Linux. Dengan modem itu, sebuah kartu tri, dan sebuah micro sd card, aku bisa menginstal dan menjalankan puppy linuxku dari gabungan ketiganya. Selain bisa dijalankan, bisa juga kita berinternetan dengan modem itu. Tinggal kita colokkan di laptop atau pc siapapun yang mau meminjamkan ke kita.

Sebenarnya banyak positifnya kalau puppy linux itu berada di tangan orang yang baik, the right man on the right place, at the right time. Tapi bisa juga menjadi sangat berbahaya ketika dipakai oleh mereka yang ingin menjebol security dan mengambil data orang lain. Bisa juga lho. Kembali ke modem dan micro sd card, kualitas produk buatan Cina semakin lama aku lihat semakin membaik. Kapan ya Indonesia bisa seperti ini? Jadi inget juga tentang salah satu materi yang pernah disampaikan salah satu teman saya, Menjadi dahsyat dengan mencontek. Dulu Cina juga mencontek produk-produk luar. Dan seiring berkembangnya teknologi, kualitasnya pun juga mengikuti. Jadi jangan melihat sisi negatifnya terus. Sekali-kali kita lihat sisi positifnya,  dan kita ambil pelajaran darinya. Tak hanya kalian, aku pun yakin Indonesia juga pasti bisa. Bagaimana caranya ya?

start

https://docs.google.com/file/d/0B-WmUMQtTTUYSTFsQ0tvNzViR0U/edit?usp=sharing
https://docs.google.com/file/d/0B-WmUMQtTTUYVy05NjBvcV9OTlk/edit?usp=sharing

acakrata, macro excel pembuat data acak dengan rata-rata bulat

Assalaamu’alaikum.

Buka Excel kemudian tekan Alt+F11 untuk berpindah ke lingkungan VBA. Buat sebuah userform yang berisi sebuah caption, TextBox, dan CommandButton seperti ini.

	Name	Caption	ShowModal
UserForm1	FrmRata	Rata-rata Acak	False
Label1		Banyak data yang diinginkan
TextBox1	TxtData
CommandButton1	CmdRata	Rata

Masuk ke mode ‘View Code’ dengan mengeklik ikon atau menekan tombol shortcut F7. Kita masukkan sebuah fungsi Acak. Nantinya fungsi ini kita gunakan untuk mengacak suatu bilangan dengan range tertentu. Tuliskan script ini.

Function Acak(BilMin, BilMax)

Acak = Round(Rnd() * (BilMax - BilMin)) + BilMin

End Function

Kita beralih ke mode ‘View Object’ dengan mengeklik ikon atau menekan tombol shortcut shift+F7. Kita dobel klik CmdRata, kemudian mulai deh sekarang nyekrip.

Kita bagi menjadi dua kasus. Jika datanya genap kita perlakukan sendiri, jika banyak data itu ganjil maka kita perlakukan berbeda lagi. Sekarang kita masuk ke data yang banyaknya genap. Berarti kita siapkan if. Tapi sebelumnya kita nyatakan dulu TxtData ke dalam variabel Data. Untuk itu, kita butuhkan variabel ‘Data’.

Dim Data As Integer.

Data = Val (TxtData)

If Data Mod 2 = 0 Then

Untuk jaga-jaga, paling bawah sendiri kita tutup if tadi dengan End If. Kemudian kita siapkan sebuah rata-rata yang sudah pasti. Berarti kita butuhkan variabel ‘Rata’. Tambahkan ke atas ke sisi variabel data. Jadi sekarang paling atas menjadi seperti ini.

Dim Data, Rata As Integer

Rata = Acak(5, 9)

Ilustrasi

Misalkan rata-rata kita adalah 5. Kita bayangkan datanya semuanya 5. Kemudian kita ambil sebuah bilangan acak ‘a’ yang kurang dari 5. a ini menjadi pengurang/penambah 5 tadi. Misalkan a=2 berarti Bilangan pertama bernilai 5-2=3 dan bilangan ke dua bernilai 5+2=7. Jelas dong rata-ratanya pasti 7. Kita luping-kan. Misalkan ternyata pada putaran ke dua ‘a’nya bernilai 1. Berarti bilangan ke tiga adalah 5-1=4 dan bilangan ke empat adalah 5+1=6. Kemudian jika pada luping ke tiga a=3, berarti bilangan ke lima=2, bilangan ke enam=8. Terus seperti itu sampai datanya berjumlah sama dengan variabel ‘Data’ tadi. Karena setiap kali luping ada 2 data, berarti kita batasi lup kita hanya sebatas Data/2. Ilustrasinya seperti ini.

Kita ke script.

Berarti sekarang kita butuh variabel baru lagi, yaitu a dan sebuah variabel array Bil(100), kita batasi seratus saja. Tidak banyak-banyak. Jadi sekarang di bagian atas sendiri menjadi seperti ini.

Dim Data, Rata, a, Bil(100) As Integer

Script lanjutannya adalah

For i = 1 To Data / 2

    a = Acak(1, Int(Rata / 2))

    Bil(2 * i - 1) = Rata – a

    Bil(2 * i) = Rata + a

Kita tampilkan bilangan satu dan bilangan dua ke sel A1 dan B1 dengan script ini.

    Cells(1, 2 * i - 1) = Bil(2 * i - 1)

    Cells(1, 2 * i) = Bil(2 * i)

Next

Terakhir, kita tutup dengan next seperti di atas ini. Mengapa? Itu karena pasangan for adalah next.

Kalau program itu dijalankan, keluarannya misalnya seperti ini.

3, 7, 4, 6, 2, 8, 1, 9.

Algoritma mengacak data yang sudah ada

Kalau hanya seperti itu saja, akan sangat mudah ditebak, hasilnya pasti berurutan. Misalkan saja kita membuat soal yang agak banyak, pasti yang menjawab akan sangat mudah menemukan polanya, yaitu tinggal menambahkan bil 1 dan bil 2, kemudian hasilnya dibagi dua. Langsung ketemu. Makanya kita harus mengacak bilangan-bilangan itu dengan sebuah langkah (algoritma) lagi. Langkah-langkah ini saya peroleh dari seorang teman, yaitu pakizul, Zulkaida Akbar. Dia sangat canggih! Scriptnya seperti ini.

j = 1

For i = Data To 1 Step -1

    x = Acak(1, i)

    Cells(2, j) = Bil(x)

    j = j + 1

    Bil(x) = Bil(i)

Next

Ada variabel-variabel baru kan? Berarti pada bagian Dim kita tambahi lagi variabelnya, yaitu x. Seperti ini.

Dim Data, Rata, a, x, Bil(100) As Integer

Iterasi pertama, i=8. Kita acak sebuah bilangan x. Yang kita acak dari 1 sampai 8, misalkan ternyata yang kepilih adalah 4, berarti x=4. Kita tulis di excel pada sel(2,1)=bil(4). Untuk itu kita tuliskan j=1 sebelum for. Bilangan ke empat pada contoh adalah 6. Jadi sel(2,1)=6. j nya kita tambah satu, biar berjalan, kemudian bilangan ke i(bilangan terakhir) kita masukkan ke bilangan x, yang tadi sudah kita tulis. Ilustrasinya.

3

7

4

6

2

8

1

9

             \_____________/

6 kita tulis. Sekarang urutannya menjadi

3

7

4

9

2

8

1

9

Pada iterasi yang ke dua, sekarang i nya menjadi 7 saja, karena stepnya -1 itu artinya dari 8 sampai 1 berjalan mundur. Berarti i yang tadinya 8 sekarang berkurang satu menjadi 7. Jadi data ke delapan tidak terpakai lagi. Konsentrasi kita sekarang ke data 1 sampai 7 saja. Jadi urutannya adalah seperti ini.

3

7

4

9

2

8

1

Output:

6

Kita acak sebuah bilangan dari 1 sampai 7 kemudian hasilnya dimasukkan ke dalam variabel x. Misalkan saja yang terpilih adalah 6. x=6. Berarti sekarang yang ditulis adalah bilangan ke enam, yaitu 8. Sel(2,2)=8. Benar kan? Karena tadi j nya sudah kita tambahkan 1 sekarang j=2. Kemudian data terakhir menggeser data yang terpilih tadi. Jadi sekarang bilangan ke enam=1. Datanya menjadi begini.

3

7

4

9

2

8

1

                    \___/

Menjadi

3

7

4

9

2

1

1

Bilangan terakhir kita buang menjadi

3

7

4

9

2

1

Output:

6, 8

Iterasi ke tiga, dipilih bilangan acak dari 1 sampai 6. Misalkan x=2. Bilangan ke dua kita tulis di output, yaitu sel (2,3), kemudian bilangan terakhir kita gantikan ke dalam bilangan ke dua.

3

7

4

9

2

1

      \_____________/

Menjadi seperti ini.

3

1

4

9

2

1

Setelah kita buang bilangan terakhir menjadi seperti ini.

3

1

4

9

2

Output:

6, 8, 7

Iterasi ke empat, misalkan x=2 lagi. Berarti bilangan ke dua kita tuliskan di output, bilangan ke lima kita masukkan ke bilangan ke dua, dan bilangan ke lima kita abaikan.

3

1

4

9

2

      \_________/

3

2

4

9

2

Bilangan terakhir diabaikan.

3

2

4

9

Output:

6, 8, 7, 1

Iterasi ke lima, misalkan x=3, berarti bilangan ke tiga, yaitu 4 dituliskan di output. 9 masuk ke bilangan ke tiga, dan bilangan ke empat diabaikan.

3

2

4

9

         \__/

3

2

9

Output:

6, 8, 7, 1, 4

Komputer akan melakukan luping terus sampai i nya = 1, sampai habis. Misalkan perolehan outputnya seperti ini.

6, 8, 7, 1, 4, 2, 3, 9.

Sekarang sudah tidak urut lagi kan?

Closing

Script kita sampai saat ini adalah seperti ini.

Private Sub CmdRata_Click()

Dim Data, Rata, a, x, Bil(100) As Integer

Data = Val(TxtData)

If Data Mod 2 = 0 Then

    Rata = Acak(5, 9)

    For i = 1 To Data / 2

        a = Acak(1, Int(Rata / 2))

        Bil(2 * i - 1) = Rata + a

        Bil(2 * i) = Rata - a

        Cells(1, 2 * i - 1) = Bil(2 * i - 1)

        Cells(1, 2 * i) = Bil(2 * i)

    Next

    j = 1

    For i = Data To 1 Step -1

        x = Acak(1, i)

        Cells(2, j) = Bil(x)

        j = j + 1

        Bil(x) = Bil(i)

    Next

End If

End Sub

Function Acak(BilMin, BilMax)

Acak = Round(Rnd() * (BilMax - BilMin)) + BilMin

End Function

Ini belum berakhir ya.. tapi semoga bermanfaat.

Wassalaamu’alaikum.

link download pdfnya bisa diunduh di google drive ini:
https://docs.google.com/file/d/0B-WmUMQtTTUYdzk1S01PWGpFX2M/edit?usp=sharing
link download programnya di google drive ini:
https://docs.google.com/file/d/0B-WmUMQtTTUYeUR4NkVpb0JkN1E/edit?usp=sharing