tips komposisi dan invers

Assalaamu'alaikum, sahabat..
Aku dapat ilmu baru dari bu opi. Canggih banget nih.
Pengin tau? Yuk kita liat.. tapi liatnya pelan-pelan ya.. diresapi biar meressapp sampai ke akarnya.
Masih ingatkah kita dengan materi ini?
$f \circ f^{-1}=i$
Coba kita lihat contoh ini, $f(x)=2x+3$.
Jelas $f^{-1}(x)=\frac{x-3}{2}$.
Nah, sekarang kalau kita perhatikan,
$f \circ f^{-1} (x)=f\left [ f^{-1}(x) \right ]=f \left(\frac{x-3}{2} \right)=2 \left(\frac{x-3}{2} \right)+3=x=i(x)$.
Berarti $f \circ f^{-1}=i$.
Lebih jauh lagi, $\underbrace{f^{-1} \circ f} \circ g = i \circ g.$
Sekarang akan kita manfaatkan informasi itu untuk mengerjakan soal dengan tipe seperti di sini.
Diketahui $f \circ g (x)=3x^2+4x-1$ dan $f(x)=x+2$. Tentukan $g(x)$.
Penyelesaian:
Yang kita punya adalah $f \circ g$ dan $f$, sedangkan yang ditanya adalah $g$.
Gimana cara agar $f$ nya hilang?
Kita bisa memakai informasi di atas dan juga aljabar yang pernah kita pelajari.
Ingat lagi bahwa $f^{-1} \circ \left(f \circ g \right )=\left(f^{-1} \circ f \right )\circ g =i \circ g=g$.
Jelas bahwa $f^{-1}(x)=x-2$,
Diperoleh $$\begin{eqnarray*} \underbrace{f^{-1} \circ f} \circ g(x)&=&f^{-1}[f \circ g(x)] \\ i \circ g(x)&=&f^{-1}(3x^2+4x-1) \\ g(x)&=&(3x^2+4x-1)-2\\ &=&3x^2+4x-3. \\ \end{eqnarray*}$$

Bisa juga untuk soal yang seperti ini.
Diketahui $f \circ g (x)=5x^2+2x+6$ dan $g(x)=x+7$. Tentukan $f(x)$.

Penyelesaian:
Kalau kita ingin menghilangkan $g$ nya ya pakai $g^{-1}$.
Lha, $g^{-1}=x-7$. Berarti $f \circ g \circ g^{-1}(x)=f \circ g (x-7)$.
Selanjutnya $x-7$ nya masuk, disubstitusikan ke fungsi $f \circ g$.
Sehingga $f \circ i(x)=5(x-7)^2+2(x-7)+6$.
Sama saja dengan $f(x)=5x^2-68x+237$.

$$\begin{eqnarray*} f \circ \underbrace{ g \circ g^{-1}(x) }&=&f \circ g[g^{-1}(x)] \\ f \circ i(x)&=&f \circ g(x-7) \\ f(x)&=&5(x-7)^2+2(x-7)+6\\ &=&5x^2-68x+237. \\ \end{eqnarray*}$$
Canggih kan?
Maturnuwun bu Opi, ilmunya.
Semoga menjadi berkah dan bermanfaat ye.. ^_^